Brontekst bekijken van Hyperbool (meetkunde)

[[Bestand:Hyperbool als kegelsnede.png|thumb|De hyperbool als kegelsnede, hier getekend met een strikt verticaal snijvlak|250px]]

In de [[meetkunde]] is een '''hyperbool''' een [[kegelsnede]] (die dus wordt gevormd door beide helften van een dubbele [[Kegel (ruimtelijke figuur)|kegel]] met een vlak te snijden) die bestaat uit twee krommen. Deze worden de ''takken'' van de hyperbool genoemd.

De hyperbool werd ontdekt door de Griekse [[wiskundige]] [[Menaechmus]]. De benaming 'hyperbool' stamt van [[Apollonius van Perga]] en komt uit het [[Oud-Grieks]]: {{Polytonic|ὑπερβολή}}, hyperbolé, ''overtreffing'', ''overdrijving'' van {{Polytonic|ὑπερ}}, hyper, ''over'', en {{Polytonic|βάλλειν}}, bállein, ''werpen'', en verwijst naar de overdrijving, de "overdreven worp" van de snijhoek (of numerieke excentriciteit <math>\varepsilon</math>, zie onder) in de kegelsnede. Met toenemende snijhoek verandert de cirkel (<math>\varepsilon = 0</math>) eerst in steeds langwerpiger ellipsen en tenslotte via de parabool (<math>\varepsilon = 1</math>) in een hyperbool (<math>\varepsilon > 1</math>).<ref>I. N. Bronstein, KA Semendjajew, Günter Grosche, Eberhard Zeidler: ''Teubner-Taschenbuch der Mathematik'', Teubner, Stuttgart 1996, {{ISBN|3-8154-2001-6}}, p.24</ref>

== Definities ==
=== Definitie uitgaande van de brandpunten ===
[[Bestand:hyperbool.png|thumb|Hyperbool in het rood waarin <math>c</math> (zie 'Vergelijkingen') gelijk is aan 8. De waarde voor <math>a</math> is gelijk aan 2, het afstandsverschil is <math>d=\operatorname{abs}(d_2-d_1)=4.</math>|250px]]

Men kan een hyperbool ook beschrijven als alle punten waarvoor het verschil van de [[afstand]]en <math>d_1</math> en <math>d_2</math> tot twee gekozen [[Punt (wiskunde)|punten]], de [[Brandpunt (meetkunde)|brandpunten]], een constante waarde <math> d</math> heeft. Een hyperbool bestaat daarom uit twee takken.

=== Hoofdas en nevenas ===
Een hyperbool heeft twee assen: de lijn door de twee brandpunten van de hyperbool heet de ''hoofdas'' en de lijn loodrecht daarop midden tussen de brandpunten (en midden tussen de takken van de hyperbool) heet de ''nevenas''.

De ''assenrechthoek'' van een hyperbool is de rechthoek waarvan twee zijden raken aan de toppen van de takken van de hyperbool, en de hoekpunten op de asymptoten liggen. De diagonalen liggen op de asymptoten. De lengte van de diagonalen is gelijk aan de afstand tussen de brandpunten van de hyperbool.<ref>http://www.projectx2002.org/Wiskunde/Zesdes/Cursus%20Analytische%20Meetkunde%20(basiskegelsneden).pdf</ref>

=== Definitie uitgaande van brandpunt en richtcirkel ===
Als twee cirkels gegeven zijn met gelijke straal, kleiner dan de afstand van de middelpunten, dan vormen de beide [[conflictlijn]]en van de ene cirkel met het middelpunt van de andere cirkel een hyperbool. De middelpunten van de cirkels zijn de brandpunten; de cirkels worden richtcirkels genoemd. De conflictlijn bestaat uit alle punten waarvan de afstand tot de richtcirkel gelijk is aan de afstand tot het middelpunt van de andere richtcirkel.

=== Definitie uitgaande van brandpunt en richtlijn ===
Een hyperbool is de meetkundige plaats van de punten in het platte vlak waarbij de verhouding van de afstand tot een willekeurig punt, brandpunt geheten, tot de afstand tot een willekeurige rechte, richtlijn geheten, constant is. Deze constante verhouding heet de excentriciteit <math>\varepsilon</math> van de hyperbool. Voor een hyperbool is <math>\varepsilon > 1</math>. Met elk brandpunt correspondeert een richtlijn. De twee combinaties van een brandpunt en de bijbehorende (dichtbijzijnde) richtlijn leveren elk de complete hyperbool op.

Voor <math>\varepsilon = 1</math> wordt de figuur een [[Parabool (wiskunde)|parabool]] en voor <math>0 < \varepsilon < 1</math> een [[Ellips (wiskunde)|ellips]].

De richtlijnen staan loodrecht op de hoofdas, op een afstand van <math>\frac{a}{\varepsilon}</math> van de nevenas. De afstand van de hyperbool tot de dichtstbijzijnde richtlijn is <math>a-\frac{a}{\varepsilon}</math>, dit is voor <math>\varepsilon \approx 1</math> ongeveer gelijk aan <math>a \varepsilon-a</math>. De afstand van het betreffende brandpunt tot de hyperbool is dan ook ongeveer hieraan gelijk. Als <math>\varepsilon</math> van boven naar 1 nadert en <math>a \varepsilon-a</math> gelijk gehouden wordt, en <math>a</math> dus naar oneindig nadert, nadert de betreffende hyperbooltak in de buurt van het betreffende brandpunt en de betreffende richtlijn tot een [[Parabool (wiskunde)|parabool]], met als as de hoofdas van de hyperbool. De nevenas en de andere tak verdwijnen, gezien vanuit de betreffende omgeving, naar het oneindige, de parabool heeft maar één as en één tak. De hoek tussen de asymptoten (met het hoekpunt ook steeds verder weg) gaat naar nul.

== Vergelijkingen ==
=== Middelpuntsvergelijking ===
De [[Punt (wiskunde)|punten]] <math>(x,y)</math> op een hyperbool met het centrum in de oorsprong en waarvan de brandpunten in <math>B_1=(-c,0)</math> en <math>B_2=(c,0)</math> liggen, voldoen aan:

:<math>\left(\frac xa \right)^2 - \left(\frac yb \right)^2 = 1</math>;

daarin is:

:<math>a^2 + b^2 = c^2</math>

Verderop wordt een afleiding van deze vergelijking gegeven.

De hyperbool snijdt de ''x''-as in de punten <math>(-a,0)</math> en <math>(a,0)</math>, en voor de afstanden <math>d_1</math> en <math>d_2</math> van een punt op de hyperbool tot de brandpunten geldt:

:<math>| d_2 - d_1| = 2a</math>

Anders dan bij een ellips kan <math>b</math> groter zijn dan <math>a</math>.

=== Parametervergelijking ===
Een hyperbool wordt, bij geschikte keuze van het assenstelsel, beschreven door de volgende parametervergelijking:

:<math>x = \pm\; a \cosh t</math>
:<math>y = b \sinh t</math>,

waarbij gebruikgemaakt wordt van de [[hyperbolische functie]]s (let op de naam!).

=== Poolvergelijking ===
Er zijn meer definities in poolcoördinaten mogelijk: <!-- lrl = left right left -->
:<math>\begin{array}{lrl}
 r^2 = & a & \sec 2 t \\
 r^2 = & -a & \sec 2 t \\
 r^2 = & a & \csc 2 t \\
 r^2 = & -a & \csc 2 t \\
\end{array}</math>

== Eigenschappen ==
De hyperbool met vergelijking
:<math>\left(\frac xa \right)^2 - \left(\frac yb \right)^2 = 1</math>

convergeert voor grote waarden van <math>x</math> en <math>y</math> naar het lijnenpaar:

:<math>y = \pm \frac ba x</math>

die de [[Asymptoot|asymptoten]] van de hyperbool zijn.

Aangetoond kan worden dat de snijpunten van de hyperbool met de ''x''-as altijd binnen het interval <math>\left[-\sqrt{a^2 + b^2},\,+\sqrt{a^2 + b^2}\right]</math> zullen liggen.
Naarmate de snijpunten meer in de richting van de brandpunten komen, zal de hyperbool sterker gekromd zijn. De verticale lijn door de oorsprong is een speciaal geval, de hyperbool heet [[Ontaard (meetkunde)|ontaard]]. De twee takken van de hyperbool vallen hier samen, omdat het verschil in afstand precies gelijk is aan 0.

Een speciaal geval treedt op als <math>a=b</math>. De asymptoten zijn dan gelijk aan de diagonalen van het xy-vlak. Als het coördinatenstelsel 45° gedraaid wordt, zijn in het nieuwe stelsel de oude x- en y-as de asymptoten. In dit nieuwe coördinaten-stelsel <math>(x',y')</math> is de hyperbool dan te beschrijven als de [[omgekeerde]] functie
:<math>y' = \frac c x'</math>

Twee hyperbolen snijden elkaar in maximaal vier punten.

Zijn <math>B_1</math> en <math>B_2</math> de brandpunten van een hyperbool en <math>P</math> een punt op de hyperbool, dan heten de lijnen <math>PB_1</math> en <math>PB_2</math> de ''brandpuntsvoerstralen'' van het punt <math>P</math>. De [[bissectrice]]s van de brandpuntsvoerstalen zijn de normaal en de raaklijn aan de hyperbool in punt <math>P</math>.

== Gelijkzijdige hyperbool ==
Een hyperbool waarvan de asymptoten elkaar [[loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] snijden heet een gelijkzijdige hyperbool, orthogonale hyperbool of rechthoekige hyperbool.
Elke hyperbool die door de punten van een [[hoogtepuntssysteem]] gaat is een gelijkzijdige hyperbool.

Neem nu aan dat de asymptoten evenwijdig lopen aan de horizontale en verticale as. <math>x=a</math> is de vergelijking van de ene asymptoot en <math>y=b</math> van de andere. Dan is <math>(a,b)</math> het snijpunt van de 2 asymptoten. Hiermee kunnen we de hyperbool als volgt afleiden: de verticale asymptoot wordt gevonden als <math>x</math> tot <math>a</math> nadert en <math>y</math> oneindig groot wordt.
:<math>y = \dfrac{1}{x-a}</math>

Hiermee hebben we dus een hyperbool gevonden met de juiste verticale asymptoot. Hoe krijgen we een formule die ook nog de juiste horizontale asymptoot heeft? Als <math>y</math> tot <math>b</math> nadert, wordt <math>x</math> oneindig groot. <math>x</math> wordt oneindig.
:<math>y = \dfrac{bx}{x}</math>

Wat gebeurt er met <math>y</math>? Deze blijft altijd <math>b</math>, ongeacht welk getal we voor <math>x</math> kiezen. Maar wat als we deze samenvoegen met onze eerder gevonden formule?
:<math>y = \dfrac{bx}{x-a}</math>

Als <math>y=b</math>, dan geldt er dat <math>x</math> oneindig groot is. De <math>a</math> valt te verwaarlozen, omdat deze ontzettend klein is in vergelijking met de oneindig grote <math>x</math>. Je krijgt dan <math>y=b</math>. Dit klopt!

Als <math>x=a</math>, dan geldt er dat <math>y</math> oneindig groot is, omdat <math>x-a</math> precies 0 is. (Iets delen door 0 nadert oneindig).

Dus, als je 2 asymptoten hebt met snijpunt <math>(a,b)</math> dan vinden we de volgende formule met de bijbehorende hyperbool:
:<math>y = \dfrac{bx}{x-a}</math>

== Afleiden van de middelpuntsvergelijking ==
[[Bestand:HyperbolaCentralEquation.png|thumb|400px|right|Hyperbool
<br /> <math>a,c>0</math>
<br /> <math>c^2=a^2 + b^2</math>
<br /> <math>|r_1 - r_2| = 2a</math>
]]

=== Stelling ===
Een hyperbool met
* hoofdas <math>2a</math>,
* nevenas <math>2b</math>,
* [[middelpunt (meetkunde)|middelpunt]] in de [[Oorsprong (wiskunde)|oorsprong]] <math>O</math> van een [[cartesisch coördinatenstelsel]] <math>Oxy</math>,
* brandpunten op de <math>x</math>-as,
voldoet aan de [[Vergelijking (wiskunde)|vergelijking]]:

:<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1</math>

Dit is de middelpuntsvergelijking van de hyperbool.

=== Symbolen ===
Waar eerst <math>d_1</math> en <math>d_2</math> werden gebruikt, worden hier <math>r_1</math> en <math>r_2</math> gebruikt.

{| class="wikitable" style="background-color:white;"
! symbool
! omschrijving
|-
| <math>\varepsilon</math>
| een willekeurige hyperbool in het [[Vlak (meetkunde)|platte vlak]]
|-
| <math>F_{1}</math>, <math>F_{2}</math>
| de brandpunten van <math>\varepsilon</math>
|-
| <math>Oxy</math> <br><br><br>
|• een orthogonaal assenstelsel <br> • met als oorsprong <math>O</math> het midden van het [[lijnstuk]] <math>F_1F_2</math> <br> • de <math>x</math>-as wijst van <math>F_1</math> naar <math>F_2</math>
|-
| <math>2c</math>
| brandpuntsafstand van <math>\varepsilon</math>, per definitie de [[Afstand (wiskunde)|afstand]] tussen <math>F_1</math> en <math>F_2</math>
|-
| <math>P</math>
| een willekeurig [[Punt (wiskunde)|punt]] van <math>\varepsilon</math>
|-
| <math>x</math>
| de [[Coördinaat|<math>x</math>-coördinaat]] van <math>P</math>
|-
| <math>y</math>
| de <math>y</math>-coördinaat van <math>P</math>
|-
| <math>r_1</math>
|de [[Lengte (meetkunde)|lengte]] van de voerstraal van <math>P</math> vanuit <math>F_1</math>
|-
| <math>r_2</math>
|de lengte van de voerstraal van <math>P</math> vanuit <math>F_2</math>
|-
| <math>2a</math>
|de lengte van de hoofdas van <math>\varepsilon</math>
|-
| <math>2b</math>
| de lengte van de nevenas van <math>\varepsilon</math>
|}

=== Afleiden <math>r_1</math> en <math>r_2</math> als lineaire functies van <math>x</math> ===
:{| class="wikitable" style="background-color:white;"
! stap
! maak gebruik van
! er geldt dan
|-
| <math>_{s.1}</math>
| [[Hyperbool (meetkunde)#Definitie uitgaande van de brandpunten|definitie hyperbool]]
| <math>_{r_1}</math><math>_{-}</math><math>_{r_2=}</math><math>_{^{\pm}}</math><math>_{2a}</math>
|-
| <math>_{s.2}</math>
| [[stelling van Pythagoras]]
| <math>_{r_1^2=(x+c)^2+y^2}</math>
|-
| <math>_{s.3}</math>
| stelling van Pythagoras
| <math>_{r_2^2=(x-c)^2+y^2}</math>
|-
| <math>_{s.4}</math>
| <math>_{s.2-s.3}</math>
| <math>_{r_1^2-r_2^2=((x+c)^2+y^2))-((x-c)^2+y^2))}</math>
|-
| <math>_{s.5}</math>
| <math>_{s.4}</math> • [[merkwaardig product]]
| <math>_{(r_1+r_2)(r_1-r_2)=4cx}</math>
|-
| <math>_{s.6}</math>
| <math>_{s.1}</math> <math>_{s.5}</math>
| <math>_{^{\pm}}</math><math>_{2a(r_1}</math><math>_{+}</math><math>_{r_2)=4cx}</math>
|-
| <math>_{s.7}</math>
| <math>_{s.6}</math>
| <math>_{r_1}</math><math>_{+}</math><math>_{r_2=}</math><math>_{^{\pm}}</math><math>_{2cx/a}</math>
|-
| <math>_{s.8}</math>
| <math>_{(s.1+s.7)/2}</math>
| <math>_{r_1=}</math><math>_{^{\pm}}</math>(<math>_{a+cx/a}</math>)
|-
| <math>_{s.9}</math>
| <math>_{-}</math><math>_{(s.1-s.7)/2}</math>
| <math>_{r_2=}</math><math>_{^{\mp}}</math>(<math>_{a-cx/a}</math>)
|}

''s.8'' en ''s.9'' gelden samen.

=== Afleiden kwadratisch verband tussen <math>x</math> en <math>y</math> ===
:{| class="wikitable" style="background-color:white;"
! stap
! maak gebruik van
! er geldt dan
|-
| <math>_{s.10}</math>
| <math>_{(s.8)^2+(s.9)^2}</math>
| <math>_{r_1^2+r_2^2=(a+cx/a)^2+(a-cx/a)^2}</math>
|-
| <math>_{s.11}</math>
| <math>_{s.10}</math> • merkwaardig product
| <math>_{r_1^2+r_2^2=2(a^2+(cx/a)^2)}</math>
|-
| <math>_{s.12}</math>
| <math>_{s.2+s.3}</math>
| <math>_{r_1^2+r_2^2=(x+c)^2+(x-c)^2+2y^2}</math>
|-
| <math>_{s.13}</math>
| <math>_{(s.11=s.12)/2}</math> • merkwaardig product
| <math>_{a^2+(cx/a)^2=x^2+c^2+y^2}</math>
|-
| <math>_{s.14}</math>
| <math>_{s.13}</math>
| <math>_{a^2=(1-(c/a)^2)x^2+c^2+y^2}</math>
|-
| <math>_{s.15}</math>
| <math>_{s.14}</math>
| <math>_{a^2-c^2=(1/a^2)(a^2-c^2)x^2+y^2}</math>
|-
| <math>_{s.16}</math>
| betrekking tussen brandpuntsafstand, hoofdas en nevenas
| <math>_{c^2=a^2}</math> <math>_{+}</math> <math>_{b^2}</math>
|-
| <math>_{s.17}</math>
| <math>_{s.15}</math> <math>_{s.16}</math>
| <math>_{b^2=(b^2/a^2)x^2}</math><math>_{-}</math><math>_{y^2}</math>
|-
| <math>_{s.18}</math>
| <math>_{(s.17)/b^2}</math>
| <math>_{x^2/a^2}</math><math>_{-}</math><math>_{y^2/b^2=1}</math>
|}
</div>

Nu is aangetoond dat als een punt <math>P</math> op de hyperbool ligt, de coördinaten <math>(x,y)</math> van <math>P</math> voldoen aan de vergelijking <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1</math>.

Omgekeerd kan men aantonen dat als de coördinaten <math>(x,y)</math> van een willekeurig punt <math>P</math> voldoen aan die vergelijking, <math>P</math> op die hyperbool ligt.

Dus is <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1</math> de vergelijking van een hyperbool.

==Referenties==
{{References}}

[[Categorie:Vlakke figuur]]
[[Categorie:Wiskundige kromme]]