Brontekst bekijken van Karakteristiek (wiskunde)

In de [[abstracte algebra]] is de '''karakteristiek''' van een [[ring (wiskunde)|ring]] ''R'' het kleinste aantal keren dat men in een [[sommatie|som]] gebruik moet maken van het multiplicatieve [[neutraal element|identiteitselement]] (1) om het [[additieve identiteit]]selement (0) te verkrijgen; van de ring zegt men dat deze karakteristiek nul heeft, indien deze herhaalde som nooit de additieve identiteit bereikt.

==Formele definitie==
Zij ''R'' een ring (niet noodzakelijk commutatief) met [[neutraal element]] 1<sub>''R''</sub> voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van ''R'', genoteerd char(''R''), is het kleinste [[natuurlijk getal|natuurlijke getal]] getal ''n'' zodanig dat
:<math>\begin{matrix}\underbrace{1_R+1_R+\ldots+1_R}&=&0_R\\n\ \mathrm{maal} \end{matrix}</math>
als een dergelijk getal ''n'' bestaat, en anders 0.

==Voorbeelden==
De klassieke getallenverzamelingen <math>\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{C}</math> hebben karakteristiek 0. Zo ook de [[p-adisch getal|p-adische getallen]].

Als <math>R</math> een [[integriteitsgebied]] is, dat wil zeggen dat er geen elementen <math>a,b\in R\setminus\{0\}</math> bestaan met <math>a\cdot b=0</math>, dan is de karakteristiek 0 of een [[priemgetal]]. Dit geldt in het bijzonder als <math>R</math> een [[lichaam (Ned) / veld (Be)|lichaam (in België: veld)]] is.

De gehele [[restklasse]]n modulo <math>n</math> (<math>n=2,3,4,\ldots</math>) vormen een [[commutatieve ring]] met eenheid met karakteristiek <math>n</math>, genoteerd <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. Dit is een lichaam als en slechts als <math>n</math> een priemgetal is.

Als <math>R_1</math> en <math>R_2</math> ringen met eenheid zijn, en <math>R_1</math> is een [[deelring]] van <math>R_2</math> (met hetzelfde eenheidselement), dan hebben <math>R_1</math> en <math>R_2</math> dezelfde karakteristiek. Omgekeerd: elke ring met karakteristiek 0 bevat <math>\mathbb{Z}</math> als deelring, en elke ring met karakteristiek <math>n>1</math> bevat <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> als [[deelring]].

De enige [[ring (wiskunde)|ring]] met karakteristiek 1 is het [[Singleton (wiskunde)|singleton]] <math>\{0=1\}</math>.

==Alternatieve definities==
De karakteristiek is gelijk aan de [[exponent (groepentheorie)|exponent]] van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve <math>n</math> zodanig dat 
:<math>\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{n maal}} = 0</math>
voor elk element <math>a</math> van de ring (nogmaals, als <math>n</math> bestaat, anders nul). Dit volgt uit de [[distributiviteit]] van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling.

Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het [[natuurlijk getal]] <math>n</math> zodanig dat <math>n\Z</math> de [[kern (ringtheorie)|kern]] van een [[ringhomomorfisme]] van <math>\Z</math> naar <math>R</math> is, zodanig dat <math>R</math> een [[deelring]] [[ringhomomorfisme|isomorf]] met de [[Ideaal#Factorring|factorring]] <math>\Z/n\Z</math> bevat, die de [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] van dat [[homomorfisme]] zou worden. De eisen van ringhomomorfismen zijn zodanig dat er slechts een homomorfisme van de [[ring van de gehele getallen]] naar enig andere ring kan zijn, in de taal van de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]] is <math>\Z</math> het [[initiële object]] van de [[categorie van ringen]]. Ook hier volgt men de conventie dat een ring een multiplicatief identiteitselement heeft, en dat ring-homomorfismen het eenheidselement respecteren.

[[Categorie:Abstracte algebra]]
[[Categorie:Ringtheorie]]