Brontekst bekijken van Maxwell-Boltzmann-verdeling

[[Bestand:Maxwell-Distr.png|thumb|De Maxwell-Bolzmann-verdeling voor [[distikstof|stikstof (N<sub>2</sub>)]] bij drie verschillende temperaturen.]]
De '''Maxwell-Boltzmann-verdeling''' of '''snelheidsverdelingswet van Maxwell-Boltzmann''' geeft de [[kansverdeling|verdeling]] van de [[snelheid|snelheden]] van [[Gas (aggregatietoestand)|gasmoleculen]] in een [[ideaal gas]] weer, wanneer de moleculen als puntvormig kunnen worden opgevat en zij volkomen elastisch botsen, zodat impuls en energie behouden blijven. Er vinden tevens geen simultane botsingen plaats van 3 of meer moleculen. De Maxwell-Boltzmann-verdeling vervult een centrale rol in toepassingen van de [[kinetische gastheorie]].

De dichtheid <math>f(v)</math> van de snelheidsverdeling van de deeltjes wordt gegeven door:

:<math>f(v) = 4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}</math>.

Daarin is

*<math>m</math> de massa van een deeltje van het gas (in [[SI-eenheden]] in kg)
*<math>k</math> de [[Boltzmannconstante]] (in SI-eenheden geldt <math>k\approx 1{,}38\times 10^{-23}</math> [[Joule|J]] [[Kelvin (eenheid)|K]]<sup>−1</sup>)
*<math>v</math> de snelheid van een deeltje (in SI-eenheden in m s<sup>−1</sup>)
*<math>T</math> de [[absolute temperatuur]] van het gas (in SI-eenheden in K)

De verdeling is genoemd naar [[James Clerk Maxwell]], die haar als eerste in 1866 afleidde, en [[Ludwig Boltzmann]], die het bewijs verscherpt heeft. De verdeling is een bijzonder geval van de algemene [[Boltzmann-verdeling]].

==Afleiding==
In de stationaire toestand zijn de gasdeeltjes gelijkmatig verdeeld over het volume. De energie van een deeltje is zijn kinetische energie en omdat de totale energie <math>E</math> van het gas vastligt, is de snelheid van een deeltje begrensd. Alle mogelijke snelheden worden opgedeeld in een eindig aantal (<math>m</math>) klassen, waarbinnen de snelheid weinig varieert.

=== Voorwaarden ===
Elk van de <math>N</math> deeltjes valt wat zijn snelheid betreft binnen een van de <math>m</math> klassen. De aantallen in de klassen zijn <math>n_1,n_2, \ldots, n_m</math>. Er geldt dus:

:<math>\sum{n_i}=N</math>.

Ook moet het totaal van de energie van de deeltjes gelijk zijn aan de totale energie <math>E</math> van het gas, dus:

:<math>\sum{n_iE_i}=E</math>.

=== Waarschijnlijkheidsdichtheden van realisaties ===
De verdeling van de deeltjes over de snelheidsklassen kan op meer manieren gerealiseerd worden. Zijn alle deeltjes in één klasse dan is er maar één manier, maar zijn ze op een na alle in één klasse dan zijn er al <math>N</math> mogelijke realisaties. Algemeen is het aantal realisaties bij de verdeling van <math>n_1,n_2, \ldots, n_m</math> deeltjes over de <math>m</math> klassen:

:<math>A = \frac{N!}{n_1!n_2! \ldots n_m!}</math>

Hoe meer realisaties een verdeling heeft, hoe waarschijnlijker het is dat het gas zich in een realisatie van die verdeling bevindt, uitgaande van het belangrijkste postulaat van de [[statistische mechanica]], namelijk dat alle [[microtoestand]]en ''a priori'' gelijke waarschijnlijkheden hebben. De meest waarschijnlijke verdeling is dus de verdeling met het grootste aantal realisaties, zij het dat aan de genoemde voorwaarden moet zijn voldaan.

=== Optimalisatie ===
Onder deze voorwaarden wordt de verdeling bepaald waarvoor het aantal [[wiskundige optimalisatie|realisaties <math>A</math> maximaal]] is. Om gemakkelijker te rekenen neemt m in plaats van het aantal realisaties <math>A</math> zelf de logaritme daarvan. Dit is toegestaan omdat de logaritme monotoon stijgend is. Met de [[Lagrange-multiplicator|multiplicatorenmethode van Lagrange]] wordt de vergelijking:

:<math>\frac{\partial \log A}{\partial n_k} + \frac{\partial}{\partial n_k}\left(a \sum{n_i}+b\sum{n_iE_i}\right)=0</math>

waarin <math>a</math> en <math>b</math> de multiplicatoren zijn.

Uitwerken levert:

:<math>\frac{\partial \log (n_k!) }{\partial n_k} + a + b E_k = 0</math>

Met behulp van de [[formule van Stirling]] krijgt men de benadering:

:<math>\log n! \approx n \log n - n</math>,

zodat voor de vergelijking resulteert:

:<math>\log n_k + a + b E_k = 0</math>,

met als oplossing:

:<math>n_k = e^{- a - b E_k} = B e^{- b E_k}</math>.

Aangezien de energie in een klasse alleen de kinetische energie van een deeltje in die klasse is, geldt:

:<math>E_k = \tfrac 12 m v_k^2</math>.

De snelheidsverdeling heeft dus de dichtheid:

:<math>n(\vec v) = B e^{-\frac 12 bmv^2}</math>.

Deze is alleen afhankelijk van de grootte van de snelheid.

=== Toestandsdichtheid ===
Voor de [[toestandsdichtheid]] als functie van de snelheid geldt in drie dimensies:

:<math>D_3(v) = 4\pi v^2</math>

De uitdrukkingen voor de hypothetische toestandsdichtheid in 2 dimensies en 1 dimensie zijn (voor de volledigheid):
:<math>D_2(v) = 2\pi v</math>
:<math>D_1(v) = 1</math>

De kanssdichtheid in <math>n</math> dimensies wordt gegeven door:

:<math>f(v) = D_n(v) B e^{-\frac 12 bmv^2}.</math>

=== Kansdichtheid ===
Omdat de integraal van de [[kansdichtheid]] in drie dimensies gelijk moet zijn aan 1, volgt voor de constante <math>B:</math>

:<math>1 = \int f(v)dv = 4\pi B \int_0^\infty v^2 e^{-\tfrac 12 bmv^2}{\rm d}v = 4\pi B \frac{1}{(bm)^{\frac{3}{2}}}\int_0^\infty z^2 e^{-\frac 12 z^2}{\rm d}z = 4\pi B \frac{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{(bm)^{\frac{3}{2}}}.</math>

De dichtheid wordt dus:

:<math>f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} (bm)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac 12 bmv^2}.</math>

Voor een ideaal gas geldt voor de verwachte kinetische energie van een deeltje:

:<math>\left\langle \tfrac 12 m v^2\right\rangle = \tfrac 32 kT </math>,
dus

:<math>\tfrac 32 kT = \tfrac 12 m \int_0^\infty v^2 f(v)dv = \tfrac 12 m \int_0^\infty \sqrt{ \frac{2}{\pi}} (bm)^{\frac{3}{2}} v^4 e^{-\frac 12 bmv^2}dv = \frac 1{2b} \sqrt{ \frac{2}{\pi}} \int_0^\infty z^4 e^{-\frac 12 z^2}dz = \frac 3b</math>.

Dus is:
:<math> b = \frac{2}{kT}</math>

en de kanssdichtheid in drie dimensies:

:<math>f(v) = 4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}.</math>

== Compacte representatie ==
[[Bestand:Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg|thumb|Kansdichtheid van de Maxwell-Boltzmann-verdeling]]
[[Bestand:Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg|thumb|Verdelingsfunctie van de Maxwell-Boltzmann-verdeling]]
De kanssdichtheid van de Maxwell-Boltzmann-verdeling wordt in een compacte representatie gegeven door:
:<math>f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{v^2 e^{-v^2/\left(2a^2\right)}}{a^3}</math>
met:
:<math>a = \sqrt{\frac{k T}{m}}</math>

De verdelingsfunctie is:
:<math>F(v) = \operatorname{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{v e^{-v^2/\left(2a^2\right)}}{a} </math>

== Verschillende snelheidsgemiddelden ==
De [[Extreme waarde|meest waarschijnlijke]] (modale) snelheid ligt bij het maximum van <math> f(v)</math> waarvoor geldt:
:<math>\frac{{\rm d}}{{\rm d}v} f(v)= 0</math>
en wordt gegeven door:
:<math>v_p = a\sqrt{2}=\sqrt{\frac{2 k T}{m}}</math>

=== RMS-snelheid ===
De [[kwadratisch gemiddelde]] (rms) snelheid is:
:<math>v_\text{rms}=\sqrt{ \overline{v^2}} = \sqrt{ \int_0^\infty v^2 f(v) dv}</math>
en wordt gegeven door:
:<math>v_\text{rms} = a\sqrt{3} = v_p \sqrt{\tfrac 32} = \sqrt{\frac{3 k T}{m}}</math>

=== Gemiddelde snelheid ===
De gemiddelde snelheid is:
:<math>v_\text{av}= \overline{v} = \int_0^\infty v f(v) dv</math>
en wordt gegeven door:
:<math>v_\text{av}= 2 a\sqrt{\frac 2 \pi} = 2 \frac{v_p}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}}</math>

=== Verhoudingen ===
De drie waarden verhouden zich onderling bij benadering als:
:<math>v_{rms} : v_{av} : v_{p} \approx 1{,}00 : 0{,}92 : 0{,}82</math>

De gemiddelde snelheid ligt ongeveer midden tussen de ''rms''-snelheid en de meest waarschijnlijke snelheid in.

==Externe links==
* [http://www.ap.univie.ac.at/users/ves/sp_english/sp/node8.html afleiding + LBRoulette]
* [https://web.archive.org/web/20040725012406/http://user.mc.net/~buckeroo/MXDF.html afleiding]
* [http://www.gs68.de/tutorials/plasma/node7.html verdeling]

[[Categorie:Natuurkundige wet]]
[[Categorie:Statistische mechanica]]
[[Categorie:Fysische chemie]]