Brontekst bekijken van Spoor (lineaire algebra)

In de [[lineaire algebra]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is het '''spoor''' (naar het Duitse '''Spur''', in het Engels later vertaald door '''trace'''), aangeduid door sp of tr, van de [[vierkante matrix]] <math>A</math> de som van de [[element (wiskunde)|element]]en van de [[hoofddiagonaal]] van <math>A:</math>
:<math>\mathrm{sp}(A) = a_{11} + a_{22} + \ldots + a_{nn} = \sum_{i=1}^n a_{ii}</math>,

waarin <math>a_{ij}</math> het [[element (wiskunde)|element]] in de <math>i</math>-de rij en <math>j</math>-de kolom van <math>A</math> is.

== Eigenschappen ==
* Het spoor van een complexe [[Matrix (wiskunde)|matrix]] is de som van haar [[Eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarden]]. In het spoor wordt iedere eigenwaarde zo vaak geteld als dat het de eigenwaarde van de matrix is. Een reële matrix, als speciaal geval van een complexe matrix, voldoet hier uiteraard ook aan, maar dan moet men wel de niet-reële eigenwaarden meetellen. In de [[karakteristieke polynoom]] is het spoor op het [[Teken (wiskunde)|teken]] na de [[Polynoom#Coëfficiënt|coëfficiënt]] van de op een na hoogste macht. Vergelijk het met de [[determinant]], die het product van de eigenwaarden is.
* Het spoor is een [[lineaire functionaal]]:
** <math>\mathrm{sp}(A+B)=\mathrm{sp}(A)+\mathrm{sp}(B)</math>
** <math>\mathrm{sp}(rA)=r \cdot \mathrm{sp}(A)</math>
* Het spoor van de [[Transponeren (wiskunde)|getransponeerde]] van een matrix en van de matrix zelf zijn hetzelfde:
** <math>\mathrm{sp}(A) = \mathrm{sp}(A^T)</math>
* Het spoor van het [[Matrixvermenigvuldiging|product van twee of meer matrices]] is onafhankelijk van de plaats van de twee matrices in het product. Dat geldt ook voor een matrix en de geconjugeerde van die matrix:
** <math>\mathrm{sp}(AB) = \mathrm{sp}(BA)</math> 
** <math>\mathrm{sp}(ABC) = \mathrm{sp}(CAB) = \mathrm{sp}(BCA)</math> 
** <math>\mathrm{sp}(P^{-1}AP)=\mathrm{sp}((PP^{-1})A)=\mathrm{sp}(A)</math> 

* Bovenstaand verband kan bij reële of complexe matrices ook uitgedrukt worden aan de hand van de [[exponentiële functie]]. Voor de definitie van de exponentiële functie op vierkante matrices kan een [[machtreeks]] worden gebruikt, of anders de abstracte exponentiële functie uit de theorie van de [[Lie-algebra]]s.
::<math>\det(\exp A)=\exp{\mathrm{sp} A}</math>

De [[Lie-groep]] <math>SL(n,\R)</math> bestaat uit de reële <math>n\times n</math>-matrices met determinant 1. De overeenkomstige Lie-algebra bestaat uit alle reële <math>n\times n</math>-matrices met spoor 0.

==Voorbeeld==
:<math>A = 
\begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1\\
   0 & 4 & 4\\
   0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\Rightarrow \mbox{sp}(A) = 3 + 4 + 0 = 7
</math>
De eigenwaarden van deze matrix zijn de reële getallen 3, 2+2√2 en 2–2√2 met als som 7.

==Verband met eigenwaarden==
Het spoor is een [[gelijksoortige matrices|gelijksoortigheidsinvariant]], wat wil zeggen dat voor iedere omkeerbare <math>n\times n</math>-matrix <math>B</math> geldt:

:<math>\mathrm{sp}\ A=\mathrm{sp}(B^{-1}AB)</math>

Als <math>A</math> een [[symmetrische matrix]] is, dan bestaat er een matrix <math>B</math> die de gegeven matrix ''diagonaliseert''; dat wil zeggen <math>B^{-1}AB</math> is een [[diagonaalmatrix]]. Hieruit volgt voor dergelijke matrices opnieuw dat het spoor gelijk is aan de som van de eigenwaarden.

[[Categorie:Matrix]]
[[Categorie:Lineaire algebra]]