Brontekst bekijken van Stelling van Heine-Borel

In de [[wiskundige analyse]], maar ook in de [[topologie]] van de [[metrische ruimte]]n geeft de '''stelling van Heine-Borel''', genoemd naar [[Heinrich Eduard Heine|Eduard Heine]] en [[Émile Borel]], een verband aan tussen [[compact|compacte verzamelingen]] en de eigenschap van bepaalde [[verzameling (wiskunde)|verzamelingen]] om [[gesloten verzameling|gesloten]] en [[begrensdheid|begrensd]] te zijn

Voor een [[deelverzameling]] <math>S</math> van de [[Euclidische ruimte]] <math>\R^p</math> zijn de onderstaande twee uitspraken equivalent:
* <math>S</math> is [[gesloten verzameling|gesloten]] en [[begrensdheid|begrensd]]
* elke [[overdekking (topologie)|open dekking]] van <math>S</math> heeft een eindige ''deeloverdekking'', dat wil zeggen dat <math>S</math> [[compact]] is.

In de context van de [[wiskundige analyse|reële analyse]], wordt de eerste eigenschap soms gebruikt als een definiërende eigenschap van compactheid. De twee definities houden echter op equivalent te zijn als we deelverzamelingen van meer algemene [[metrische ruimte]]n beschouwen in het meer algemene geval wordt alleen de laatste eigenschap gebruikt om compactheid te definiëren. In feite luidt de '''stelling van Heine-Borel''' voor willekeurige metrische ruimten als volgt:

:Een deelverzameling van de [[metrische ruimte]] is [[dan en slechts dan als|dan en slechts dan]] compact als deze deelverzameling [[volledig (topologie)|compleet]] en [[totaal begrensde ruimte|totaal begrensd]] is.

== Geschiedenis ==
De geschiedenis van wat nu de '''stelling van Heine-Borel''' wordt genoemd begint in de 19e eeuw, met het zoeken naar een solide fundament voor de reële analyse. Centraal in de stelling was het concept van [[uniforme continuïteit]] en de stelling beweert dat elke [[Continue functie (analyse)|continue functie]] op een gesloten interval uniform continu is. [[Johann Dirichlet]] was de eerste die dit [[bewijs (wiskunde)|bewees]]. Impliciet gebruikte hij in zijn bewijs het bestaan van een eindige ''deeloverdekking'' van een gegeven open overdekking van een gesloten interval'. Hij gebruikte dit bewijs in zijn colleges uit 1862, die pas in 1904 werden gepubliceerd. Later gebruikten [[Heinrich Eduard Heine|Eduard Heine]], [[Karl Weierstrass]] en [[Salvatore Pincherle]] soortgelijke technieken. [[Émile Borel]] was in 1895 de eerste die wat nu de stelling van Heine-Borel wordt genoemd exact formuleerde en ook bewees. Zijn formulering beperkte zich tot [[aftelbare verzameling]]en. [[Henri Lebesgue]] (1898) en [[Arthur Moritz Schoenflies|Schoenflies]] (1900) veralgemeenden dit resultaat naar willekeurige overdekkingen.

== Te bewijzen ==
Beschouw <math>\R^n</math> met de gewone [[Afstand (wiskunde)|metriek]]. Stel <math>E\sube \R^p</math>. Dan is <math>E</math> compact als en slechts als <math>E</math> gesloten en begrensd is.

== Bewijs ==
Het bewijs bestaat logischerwijs uit twee delen: eerst nemen we aan dat <math>E</math> compact is, en bewijzen we dat <math>E</math> dan gesloten en begrensd is. Vervolgens bewijzen we de stelling in de andere richting.

Stel dus eerst dat <math>E</math> compact is. We gaan aannemen dat <math>E</math> niet begrensd zou zijn, om zo tot een tegenspraak te komen. Bekijk nu de familie <math>F</math> gedefinieerd door 
:<math>F = \{B(0,r) | r > 0\}</math>. 
Dan is <math>F</math> een [[overdekking (topologie)|open deeloverdekking]] van <math>E</math>. De unie van eindig veel elementen uit <math>F</math> is van de vorm 
:<math>B(0,r)</math> met <math>r > 0</math>. 
Precies omdat <math>E</math> niet begrensd is kan <math>F</math> dus geen eindige deeloverdekking hebben.

Anderzijds, stel dat <math>E\sube \R^p</math> en <math>E</math> niet gesloten is. Dan bestaat er een <math>a \in E^c</math> zo, dat elke open bol rond <math>a</math> punten met <math>E</math> gemeen heeft. Definieer nu een familie <math>F</math> door 
:<math>F = \{ \overline {B(a,\delta)}^c| \delta > 0\}</math>. 
De vereniging van alle elementen uit <math>F</math> is duidelijk gelijk aan <math>\R^p \setminus \{a\}</math> en <math>E</math> is daar een deel van omdat <math>a \in E^c</math>.

De vereniging van eindig veel elementen uit <math>F</math> is van de vorm 
:<math>\overline {B(a,\delta)}^c</math> 
voor een zekere <math>\delta > 0</math>. Als nu 
:<math>E \sube B(a,\delta)^c </math>, geldt dat 
:<math>E \cap B(a,\delta) = \varnothing</math>, 
en dat is onmogelijk! Immers, bij veronderstelling dat elke open bol, dus zeker ook elke gesloten bol, punten gemeen heeft met <math>E</math>. Er bestaat dus geen eindige deeloverdekking.

Het is nuttig op te merken dat dit deel van de stelling in een willekeurige metrische ruimte geldt.

Stel nu dat <math>E</math> gesloten en begrensd is. Stel dat <math>F</math> een open overdekking van <math>E</math> is. Onderstel dan dat eindig veel elementen van <math>F</math> nooit voldoende zijn om <math>E</math> te overdekken. We proberen nu om te komen tot een tegenspraak. Merk dat <math>E</math> zeker niet leeg is!

Omdat <math>E</math> begrensd is, bestaat er een <math>p</math>-dimensionale gesloten kubus <math>K_0</math> die <math>E</math> volledig omvat. Noteer met <math>d</math> de lengte van de ribbe van deze kubus. Verdeel de kubus dan in <math>2^p</math> gelijke gesloten kubussen met ribbe <math>\tfrac{d}{2}</math> door elke ribbe precies in twee te verdelen. De doorsnede van <math>E</math> met elk van deze kleinere kubussen is dan telkens een gesloten deelverzameling van <math>E</math>. Minstens een van de niet-lege delen van <math>E</math> kan niet overdekt worden door eindig veel elementen van <math>F</math>. Stel dat <math>E_1</math> zo een deel is, noteer dan de bijbehorende kubus met <math>K_1</math>.

Als we deze procedure herhalen, dan bekomen we een rij <math>\left(E_n\right)</math> van niet-lege gesloten verzamelingen zodat <math>E = E_0</math> en zo dat <math>E_{n+1} \sube E_n</math> voor elke <math>n</math>. Bovendien krijgen we ook een rij <math>\left(K_n\right)</math> van gesloten kubussen zo dat <math>E_n \sube K_n</math> voor elke ''n'' en zo dat elke <math>K_n</math> een ribbe heeft met lengte <math>\tfrac{d}{2^n}</math>. We hebben dan de eigenschap dat geen enkele verzameling <math>E_n</math> overdekt kan worden door eindig veel elementen uit <math>F</math>.

Kies nu voor elke <math>n</math> een element <math>x_n \in E_n</math>. Stel <math>n_0 \in \N</math>. Als <math>n,m > n_0</math>, geldt dat 
:<math>x_n \in E_n \sube E_{n_0} \sube K_{n_0}</math> 
en analoog dat 
:<math>x_m \in K_{n_0}</math>.

Er volgt dan dat 
:<math>\| x_n - x_m\|^2 \geq p\left({d}/{2^{n_0}}\right)^2</math>

De rij <math>(x_n)</math> is dus een cauchyrij in <math>\R^p</math>. We weten ook dat <math>\R^p</math> volledig is, dus convergeert <math>(x_n)</math> met een limiet <math>x</math>.

Kies <math>n_0 \in \N</math>. Voor alle <math>n_0 \geq n</math> geldt dan dat <math>x_n \in E_{n_0}</math>.

Omdat <math>E_{n_0}</math> gesloten is, volgt dat <math>x \in E_{n_0}</math>. En omdat <math>x \in E</math> bestaat er een <math>A \in F</math> zo, dat <math>x \in F</math>.

Omdat <math>A</math> open is, bestaat er dan een <math>\delta > 0</math> zo,dat :<math>B(x,\delta) \sube A</math>.

Kies dan <math>n</math> zo, dat <math>\tfrac{d\sqrt{p}}{2^n} < \delta</math>.

Omdat <math>x \in E_n</math>, vinden we dat <math>E \sube B(x,\delta)</math> ,
en dus geldt dat <math>E_n \sube A</math>, wat zou betekenen dat <math>E_n</math> overdekt wordt door één element van <math>F</math>. Dit is de tegenspraak waarmee het bewijs volledig is.

{{DEFAULTSORT:Stelling van Heine-Borel}}
[[Categorie:Wiskundige analyse]]
[[Categorie:Wiskundige stelling|Heine-Borel, Stelling van]]