Brontekst bekijken van Tautologie (logica)

Een '''tautologie''' in de [[logica]] is een [[propositie]] die alleen al op formeel logische gronden waar is. Het begrip tautologie werd door [[Ludwig Wittgenstein]] in de logica ingevoerd. Bijvoorbeeld de zin:

:''het regent of het regent niet''

Deze zin is altijd waar. In een logische formule ziet deze tautologie er zo uit:

:<math>r \lor \lnot r</math> 

Om te controleren of een logische formule een tautologie is, kan men een [[waarheidstabel]] construeren voor de formule. Als blijkt dat de formule waar is voor elke mogelijke toekenning van waar of onwaar aan de atomaire formules, dan is het een tautologie.

== Construeren van tautologieën ==
In de volgende formules betekent
* <math>\neg</math> : ''niet'', [[Logische negatie|negatie]], ontkenning
* <math>A \equiv B</math> : A ''is equivalent aan'' B, [[Dan en slechts dan als|equivalentie]], gelijkwaardigheid
* <math>A \rightarrow B</math> : ''als'' A ''dan'' B, [[Logische implicatie|implicatie]], gevolgtrekking
* <math>A \vee B</math> : A ''of'' B, [[Logische disjunctie|disjunctie]]
* <math>A \wedge B</math> : A ''en'' B, [[Logische conjunctie|conjunctie]]

Tautologieën kunnen geconstrueerd worden door [[logische equivalentie]]s te gebruiken: als <math>A \equiv B</math> dan is <math>A \rightarrow B</math> een tautologie evenals <math>B \rightarrow A</math>. Bijvoorbeeld: <math>P \rightarrow Q \equiv \neg Q \rightarrow \neg P</math> ([[contrapositie]]) wordt <math>(P \rightarrow Q) \rightarrow (\neg Q \rightarrow \neg P)</math> en <math>(\neg Q \rightarrow \neg P) \rightarrow (P \rightarrow Q)</math>.

Een andere manier om tautologieën te construeren is door regels uit de propositielogica te gebruiken. Zo geldt er dat als <math>A \rightarrow B</math> en <math>B \rightarrow C</math> dat er ook geldt <math>A \rightarrow C</math>. Een tautologie kan nu geconstrueerd worden door dit samen te voegen: <math>(A \rightarrow B) \rightarrow (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C)</math>.

Enkele schema's voor tautologieën zijn:

:<math>(P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \rightarrow (P \rightarrow R)</math> ([[Transitiviteit (wiskunde)|transitiviteit]])
:<math>(P \rightarrow Q) \rightarrow (R \rightarrow Q) \rightarrow (P \vee R \rightarrow Q)</math>
:<math>(P \rightarrow Q) \rightarrow (P \rightarrow R) \rightarrow (P \rightarrow Q \wedge R)</math>
:<math>(P \rightarrow (Q \rightarrow R)) \rightarrow (Q \rightarrow (P \rightarrow R))</math>
:<math>(P \rightarrow (Q \rightarrow R)) \rightarrow (P \wedge Q \rightarrow R)</math>

[[Categorie:Logica]]