Brontekst bekijken van Vierkante matrix

[[Bestand:Arbitrary square matrix.gif|125px|thumb|Een vierkante matrix van de orde 4]]

Een '''vierkante matrix''' is een [[matrix (wiskunde)|matrix]] die evenveel rijen als kolommen bevat. Als er <math>n</math> rijen zijn, dan zijn er dus ook <math>n</math> kolommen, en spreekt men van een <math>n\times n</math>-matrix.

Vierkante matrices worden onder meer gebruikt om [[lineaire transformatie]]s, zoals lineaire vervorming en [[rotatie (wiskunde)|rotatie]] weer te geven. Als bijvoorbeeld <math>R</math> een vierkante matrix is die een rotatie ([[rotatiematrix]]) vertegenwoordigt, en <math>v</math> een [[kolomvector]] is die de [[positievector|positie]] van een [[punt (wiskunde)|punt]] in de [[ruimte (wiskunde)|ruimte]] aangeeft, dan is het [[matrixvermenigvuldiging|product]] <math>Rv</math> een andere kolomvector die de positie van dat punt na de uitgevoerde rotatie beschrijft. Als <math>v</math> een [[rijvector]] is, kan dezelfde transformatie worden verkregen met behulp van <math>vR^T</math> waarin <math>R^T</math> de [[getransponeerde matrix]] van <math>R</math> is.

==Hoofddiagonaal ==
{{Zie hoofdartikel|hoofddiagonaal}}
De elementen <math>a_{ii}, (i=1,\ldots,n)</math> vormen de [[hoofddiagonaal]] van de <math>n\times n</math>-matrix <math>A</math>. Ze liggen op de denkbeeldige lijn die van de linkerbovenhoek naar de rechterbenedenhoek van de matrix loopt. In het hierboven afgebeelde plaatje van een <math>4\times 4</math>-matrix liggen de elementen <math>a_{11}=9,\ a_{22}=11,\ a_{33}=4</math> en <math>a_{44}=10</math> op de hoofddiagonaal.

De diagonaal die in een vierkante matrix van de rechterbovenhoek naar de linkerbenedenhoek loopt, wordt de ''antidiagonaal'' of ''tegendiagonaal'' genoemd.

== Speciale typen ==
:{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Naam !! Voorbeeld met <math>n=3</math>
|-
| [[Diagonaalmatrix]] || style="text-align:center;" | <math>
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & 0 & 0 \\
 0 & a_{22} & 0 \\
 0 & 0 & a_{33}
 \end{bmatrix}
 </math>
|-
| [[Driehoeksmatrix|Benedendriehoeksmatrix]] || style="text-align:center;" | <math>
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & 0 & 0 \\
 a_{21} & a_{22} & 0 \\
 a_{31} & a_{32} & a_{33}
 \end{bmatrix}
 </math>
|-
| [[Driehoeksmatrix|Bovendriehoeksmatrix]] || style="text-align:center;" | <math>
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
 0 & a_{22} & a_{23} \\
 0 & 0 & a_{33}
 \end{bmatrix}
 </math>
|}

=== Diagonaalmatrix ===
Als alle elementen van de vierkante matrix <math>A</math> behalve die op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul, wordt <math>A</math> een [[diagonaalmatrix]] genoemd.

=== Driehoeksmatrix ===
Als alle elementen boven de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul, spreekt men van een beneden[[driehoeksmatrix]]. Zijn de alle elementen onder de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan spreekt men van een boven[[driehoeksmatrix]].

=== Identiteitsmatrix ===
De [[identiteitsmatrix]] <math>I_n</math> van de orde <math>n</math> is de <math>n\times n</math>-diagonaalmatrix waarin alle elementen op de [[hoofddiagonaal]] gelijk zijn aan 1:
:<math>
I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
,
I_2 = \begin{bmatrix}
 1 & 0 \\
 0 & 1
 \end{bmatrix}
, \cdots ,
I_n = \begin{bmatrix}
 1 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 1 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & 0 & \cdots & 1
 \end{bmatrix}
</math>

[[Matrixvermenigvuldiging|Vermenigvuldiging]] van een matrix met de identiteitsmatrix van dezelfde orde, laat de matrix ongewijzigd. Voor elke <math>n\times n</math>-matrix <math>A</math> geldt
:<math>A\,I_n=I_nA=A</math>

===Inverse matrix===
Een vierkante <math>n\times n</math>-matrix <math>A</math> wordt ''[[inverse matrix|inverteerbaar]]'' of ''niet-singulier'' genoemd, als er een matrix <math>B</math> bestaat zodanig dat
:<math>AB=BA=I_n</math>.<ref>Brown, 1991, Definition I.2.28.+ Definition I.5.13.</ref>

Als <math>B</math> bestaat is deze matrix uniek. Men noemt haar de ''[[inverse matrix]]'' van <math>A</math> en noteert haar als <math>A^{-1}</math>

De inverteerbare <math>n\times n</math>-matrices vormen met de bewerking matrixvermenigvuldiging een [[groep (wiskunde)|groep]] met als [[eenheidselement]] de eenheidsmatrix van de orde <math>n.</math>

===Symmetrische en scheefsymmetrische matrix===
Een [[symmetrische matrix]] is een vierkante matrix die gelijk is aan haar getransponeerde; dus <math>A</math> is symmetrisch als:
:<math>A=A^T</math>.

Een [[scheefsymmetrische matrix]] is een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van haar getransponeerde; dus <math>A</math> is scheefsymmetrisch als:
:<math>A=-A^T</math>.

===Hermitische matrix===
In veel gevallen spelen [[Hermitische matrix|Hermitische matrices]] bij de complexe matrices een vergelijkbare rol als de symmerische matrices bij reële matrices. Een Hermitische matrix is een vierkante complexwaardige matrix die gelijk is aan haar [[geadjungeerde matrix|geadjungeerde]], dat wil zeggen aan de getransponeerde van de matrix met als elementen de [[complex geconjugeerde|geconjugeerde]] elementen van de oorspronkelijke matrix.

Vanwege de [[spectraalstelling]] hebben zowel reële symmetrische matrices als complexe Hermitische matrices een [[Basis (lineaire algebra)|basis]] van [[eigenvector]]en, dat wil zeggen dat elke [[vector (wiskunde)|vector]] kan worden uitgedrukt als een [[lineaire combinatie]] van [[eigenvector]]en. In beide gevallen zijn alle eigenwaarden [[reëel getal|reëel]]. Deze stelling kan worden veralgemeend tot oneindig-dimensionale ruimten die gerelateerd zijn aan matrices met oneindig veel rijen en kolommen, zie [[#Oneindige matrices|hieronder]].

==Referenties==
{{References}}

[[Categorie:Matrix]]