Brontekst bekijken van Wet van Gauss

{{Zijbalk elektromagnetisme}}
De '''wet van Gauss''' geeft in de [[Natuurkunde|fysica]] de relatie weer tussen de elektrische [[elektrische flux|flux]] door een gesloten oppervlak en de [[elektrische lading]] binnen het oppervlak. Dit is een toepassing van de [[divergentiestelling]] van Gauss uit de [[analyse (wiskunde)|analyse]].

== Integraalvorm ==
In zijn integraalvorm zegt de formule:

:<math>\Phi = \iint_A \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\ \ \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{A} = {1 \over \varepsilon_0} \iiint_V \rho\,\mathrm{d}V = {1 \over \varepsilon_0} Q</math>

Daarbij is <math>\vec{E}</math> het elektrisch veld, <math>\mathrm{d}\vec{A}</math> is de oppervlakte van een [[infinitesimaal]] gebiedje op het gesloten oppervlak <math>A=\partial V</math> met een naar buiten gerichte [[normaalvector]] die zijn richting bepaalt, <math>Q</math> is de lading die omsloten wordt door het oppervlak, <math>\varepsilon_0</math> is de [[permittiviteit]] in vacuüm en <math>\iint_A \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc</math> de integraal over het oppervlak <math>A</math> om het volume <math>V</math>.

== Differentiaalvorm ==
In differentiële vorm wordt de vergelijking:
:<math>\operatorname{div}\vec{E} = \nabla \cdot \vec{E} = \rho/\varepsilon_0</math>

waarin <math>\operatorname{div}\vec{E}</math> de [[divergentie (vectorveld)|divergentie]] van het elektrische veld <math>\vec{E}</math> is en <math>\rho</math> de elektrische ladingdichtheid.

=== Diëlektricum ===
In een [[diëlektricum]] kan de wet van Gauss voor de [[elektrische verplaatsing]] <math>\vec{D}</math> toegepast worden:

:<math>\nabla \cdot \vec{D} = \rho</math>

Daarin is <math>\rho</math> de ''vrije'' elektrische ladingdichtheid exclusief de [[dipool|dipolen]] die in het materiaal liggen.

Als <math>\vec{D}</math> wordt uitgedrukt in C/m<sup>2</sup>, is de eenheid van <math>\rho</math> C/m<sup>3</sup>.

Voor een lineair materiaal wordt de vergelijking:

:<math>\varepsilon \nabla \cdot \vec{E} = \rho</math>,

waarin <math>\varepsilon</math> de van <math>\vec{E}</math> onafhankelijke elektrische permitiviteit is.

Is <math>\varepsilon</math> ook onafhankelijk van de plaats, dan kan dit worden herschreven als:
:<math>\nabla \vec{E} = {\rho \over \varepsilon}</math>.

== Poissonvergelijking ==
Een elektrisch veld is [[Rotatie (vectorveld)|rotatievrij]] en bezit daarom een [[potentiaal]] <math>V</math>. Er geldt:

:<math>\vec E = - \nabla V</math>

Past men de differentiaalvorm toe, dan ontstaat de [[poissonvergelijking]] voor de potentiaal.

:<math>\nabla \cdot \vec E = - \nabla \cdot \nabla V = - \Delta V = {\rho \over \varepsilon_0}
</math>
of:
:<math>\Delta V = - { \rho(\vec r) \over \varepsilon_0 }</math>

waarin <math>\Delta</math> de [[laplace-operator]] is.

== Wet van Coulomb ==
In het speciale geval van een boloppervlak met een centrale lading, staat het [[elektrisch veld]] loodrecht op het oppervlak, met dezelfde grootte in alle punten, wat in [[vacuüm]] deze eenvoudiger uitdrukking levert:

:<math>E(r) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}</math>

met <math>E</math> de [[elektrische veldsterkte]] op straalafstand <math>r</math> buiten de bol tot het middelpunt van de bol is, <math>Q</math> de ingesloten lading en <math>\varepsilon_0</math> de permittiviteit van vacuüm. Er geldt

:<math>\varepsilon_0 = 8{,}854 187 817 \cdot 10^{-12}</math> [[Farad (eenheid)|F]]/m.<ref name="NIST">{{Citeer web |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0 |titel=Electric constant |werk=2006 CODATA recommended values |uitgever=[[NIST]]}}</ref>

De bekende omgekeerde afhankelijkheid van het elektrisch veld van het kwadraat van de afstand, in de [[wet van Coulomb]], volgt dus uit de wet van Gauss.

De stelling van Gauss kan gebruikt worden om aan te tonen dat er geen elektrisch veld is binnen een [[Kooi van Faraday]] zonder elektrische ladingen. De wet van Gauss is het elektrostatisch equivalent van de [[wet van Ampère]], die magnetisme behandelt. Beide vergelijkingen werden later geïntegreerd in de [[wetten van Maxwell]].

De stelling werd geformuleerd door [[Carl Friedrich Gauss]] in [[1835]], maar werd pas na zijn dood in [[1867]] gepubliceerd.

== Zwaartekracht en magnetisch veld ==
Door wiskundige gelijkenis, heeft de wet soms een toepassing voor andere fysische grootheden die omgekeerd evenredig zijn met een kwadraat, zoals [[zwaartekracht]], magnetisch veld of de [[intensiteit (natuurkunde)|intensiteit]] van [[straling]] (zie [[omgekeerde kwadratenwet]]). Zie ook [[divergentiestelling]].
Deze varianten van de wet van Gauss wijken enigszins af: het [[zwaartekracht]]sveld kent geen negatieve massa en het [[magnetisch veld]] ontbeert [[Magnetische monopool|monopolen]], zodat [[divergentie (vectorveld)|div]] B = 0 in plaats van de dichtheid rho.

== Divergentiestelling van Gauss ==
De wetten van Gauss voor het elektrisch en magnetisch veld zijn speciale gevallen van de algemeen geldende wiskundige stelling:
:<math>\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\vec{F}\right)dV=\iint\limits_S\vec{F}\cdot d\vec{S}</math>

die zegt dat de divergentie van een vectorveld geïntegreerd over een volume gelijk is aan de flux geïntegreerd over de rand van dat volume.

Hieruit volgt vrij eenvoudig dat
:<math>\nabla \cdot \vec{E} = \rho/\varepsilon_0</math>
en
:<math>\nabla \cdot \vec{B} = 0</math>

== Zie ook ==
* [[Wetten van Maxwell]]
* [[Carl Friedrich Gauss]]
* [[Divergentiestelling]]
* [[Flux (natuurkunde)|Flux]]
* [[Spoelgeweer]]

== Externe links ==
* [http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m132.pdf <small>MISN-0-132</small> ''Gauss's Law for Spherical Symmetry''] ([[Portable Document Format|PDF file]]) by Peter Signell for [http://www.physnet.org Project PHYSNET].
* [http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m133.pdf <small>MISN-0-133</small> ''Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions] (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.

{{Appendix}}

[[Categorie:Elektriciteit]]
[[Categorie:Vectorcalculus]]
[[Categorie:Natuurkundige wet|Gauss]]